از ویکی*پدیا، دانشنامهٔ آزاد

اکتشاف، به روشهای حل مسئله، آموزش و اکتشاف مبتنی بر تجربه اشاره می کنند که منجر به راه حلی می*شود که تضمینی نیست که مطلوب باشد. در حالی که جستجوی تشدیدی غیرعملی است، رویکردهای اکتشافی برای سرعت بخشیدن به فرایند پیداکردن یک راه*حل رضایت*بخش از طریق میان*برهای ذهنی استفاده می*شوند که بار تشخیصی را برای یک تصمیم*گیری تسهیل می*نماید. مثالهای این رویکرد عبارتنداز استفاده از یک قانون اصلی، یک حدس آموزش*داده*شده، یک قضاوت حسی، کلیشه، یا سقل سلیم.

به عبارت دقیق*تر، اکتشاف یک استراتژی است که از اطلاعات در دسترس، اگرچه خیلی قابل استفاده نیستند، برای کنترل حل مسئله در انسانها و ماشینها استفاده می*کند.
اطّلاع یا آگاهش[نیازمند منبع] در کوتاه*ترین تعریف، «داده*های پردازش نشده» است. داده*ها (به انگلیسی: data) مواد خام بالقوه معنی*داری هستند که ما آن*ها را در راستای شناخت و فهم هر مفهوم مادی یا غیر مادی، به واسطه روش*های پژوهشی، و با استفاده از ابزارهای شناختی به دست می*آوریم. داده یک شرح مقدماتی از یک پدیده، اتفاق، فعالیت و یا تعاملات است که ثبت شده است، دسته*بندی شده و ذخیره شده است؛ اما سازماندهی نشده و برای یک منظور مشخص آماده نشده است. داده*ها عناصر اصلی اطلاعات هستند. داده*ها در صورتی به اطلاعات تبدیل می*شوند که افراد بخواهند برای درک بیشتر از آنها استفاده کنند. اطلاعات، داده*های خلاصه*ای هستند که گروه*بندی، ذخیره، پالایش و سازماندهی شده*اند تا بتوانند معنی*دار شوند. اطلاعات زمانی ارزش پیدا می*کنند که برای یک بُعد خاص، یک فرد خاص، یک هدف خاص و در زمان خاص گردآوری و آماده شوند، لذا اطلاعاتی که برای یک مدیر، جنبه اطلاعاتی دارد، برای مدیر دیگر ممکن است اصلاً ارزشی نداشته باشد.

بدین ترتیب، اطلاعات، آگاهی*های به دست آمده از عنصرها و رویدادهای جهان هستی است. به زبان محدود تکنیکی، مجموعه*ای از نمادهای زبانی معنی*دار و پیوسته دربارهٔ موجودات است. در زبان انگلیسی، اطلاعات از نظمی ساختاری و ذاتی (به انگلیسی: information) خبر می*دهد.

از منظر فلسفه، اطّلاعات مفهومی چندشکلی (به انگلیسی: polymorphic) و چندمعنایی (به انگلیسی: polysemantic) است.
الگوریتم تبرید شبیه*سازی شده
از ویکی*پدیا، دانشنامهٔ آزاد

الگوریتم تبرید شبیه*سازی شده (Simulated Annealing) (SA)، یک الگوریتم بهینه*سازی فراابتکاری ساده و اثربخش در حل مسائل بهینه*سازی است. منشأ الگوریتم تبرید شبیه*سازی شده، کارهای کریک پاتریک و کرنی و همکارانشان در سال*های ۱۹۸۳ و ۱۹۸۵ است [۱][۲]. کریک پاتریک و همکارانش، متخصصانی در زمینهٔ فیزیک آماری بودند. آنها برای حل مسائل سخت بهینه*سازی، روشی مبتنی بر تکنیک تبرید تدریجی پیشنهاد نمودند. تکنیک تبرید تدریجی، به وسیلهٔ متالورژیست*ها برای رسیدن به حالتی که در آن ماده جامد، به خوبی مرتب و انرژی آن کمینه شده باشد، استفاده می*شود. این تکنیک شامل قرار دادن ماده در دمای بالا و سپس کم کردن تدریجی این دماست.
نمودار جریان الگوریتم تبرید شبیه*سازی شده
مقدمه

در روش شبیه سازی تبریدی (SA)، هر نقطهs در فضای جستجو مشابه یک حالت از یک سیستم فیزیکی است، و تابع (E(s که باید کمینه شود، مشابه با انرژی داخلی سیستم در آن حالت است. در این روش، هدف انتقال سیستم از حالت اولیه دلخواه، به حالتی است که سیستم در آن کمترین انرژی را داشته باشد.
ساختار کلی الگوریتم تبرید شبیه*سازی شده

برای حل یک مسئلهٔ بهینه*سازی، الگوریتمSA ابتدا از یک جواب اولیه شروع می*کند و سپس در یک حلقه تکرار به جواب*های همسایه حرکت می*کند. اگر جواب همسایه بهتر از جواب فعلی باشد، الگوریتم آن را به عنوان جواب فعلی قرار می*دهد (به آن حرکت می*کند)، در غیر این صورت، الگوریتم آن جواب را با احتمالexp(-ΔE/T) به عنوان جواب فعلی می*پذیرد. در این رابطهΔE تفاوت بین تابع هدف جواب فعلی و جواب همسایه*است وT یک پارامتر به نام دما است. در هر دما، چندین تکرار اجر می*شود و سپس دما به آرامی کاهش داده می*شود. در گام*های اولیه دما خیلی بالا قرار داده می*شود تا احتمال بیشتری برای پذیرش جواب*های بدتر وجود داشته باشد. با کاهش تدریجی دما، در گام*های پایانی احتمال کمتری برای پذیرش جواب*های بدتر وجود خواهد داشت و بنابراین الگوریتم به سمت یک جواب خوب همگرا می*شود. الگوریتمSAیک الگوریتم غیرمقید می باشد که برای طراحی های سخت به کار می رود. [۳]
تکرار در حلقه داخلی الگوریتم

در هر مرحله، الگوریتم تبرید شبیه*سازی شده، چند حالت را در همسایگی حالت کنونیs در نظر می*گیرد، و به طور احتمالی تصمیم می*گیرد که سیستم را از حالتs منتقل کند یا در همین حالت باقی بماند. این احتمالات در نهایت سیستم را به حالت با انرژی کمتر میل می*دهد.
همسایه*های یک جواب

همسایه*های یک حالت (جواب)، حالت*های جدیدی از مسئله هستند که با تغییر در حالت کنونی و با توجه به روشی از پیش تعیین شده ایجاد می*شوند. برای مثال در مسئله فروشنده*ی دوره*گرد، هر حالت به طور کلی یک جایگشت خاص از شهرهایی است که باید ملاقات شوند. همسایه*ی یک جواب، جایگشت*هایی هستند که با انتخاب یک جفت از شهرهای هم جوار، از کل مجموعه جایگشت*ها، و جابجا کردن آن دو شهر ایجاد می*شوند. عمل تغییر در جواب فعلی و رفتن به جواب*های همسایه "حرکت" (move) خوانده می*شود و "حرکت"های متفاوت، همسایه*های گوناگون را بدست می*دهد.
مسئله بهینه*سازی)

در ریاضیات و علوم رایانه یک مسأله بهینه سازی، مسأله یافتن بهترین راه حل از میان همه راه حل های عملی می باشد. مسأله های بهینه سازی می تواند به دو دسته تقسیم شود که متغیرها پیوسته یا گسسته باشند. یک مسأله بهینه سازی با متغیرهای گسسته به عنوان یک مسأله بهینه سازی ترکیبی یا ترکیبیاتی شناخته می شوند. در یک مسأله بهینه سازی ترکیبی، ما به دنبال مجموعه ای از اشیاء از قبیل عدد صحیح، جایگشت و یا گرافی می گردیم که تعداد اعضایش محدود (و یا به طور قابل شمارش نامحدود) باشند.
مسأله بهینه سازی پیوسته

شکل استاندارد مسأله بهینه سازی (پیوسته) به صورت زیر است:

\begin{align} &\underset{x}{\operatorname{minimize}}& & f(x) \\ &\operatorname{subject\;to} & &g_i(x) \leq 0, \quad i = 1,\dots,m \\ &&&h_i(x) = 0, \quad i = 1, \dots,p \end{align}

به طوری که:

f(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} تابع مورد نظر ماست که می خواهیم بر رویx کمینه شود.
g_i(x) \leq 0 محدودیت نابرابری نامیده می شود و
h_i(x) = 0 محدودیت تساوی نامیده می شود.

طبق قرارداد، شکل استاندارد، یک مسأله به حداقل رساندن را توصیف می کند. یک مسأله به حداکثر رساندن می تواند با منفی کردن تابع هدف به دست آید.
مسأله بهینه سازی ترکیبی

به طور رسمی یک بهینه سازی ترکیبیA یک چهارتایی (I, f, m, g) است به طوری که:

I مجموعه نمونه هاست.
برای یک نمونهx \in I داده شده، f(x) مجموعه راه حل های امکان پذیر است.
برای یک مورد داده شدهx و راه حل ممکنy برایx، m(x, y) اندازهy را مشخص می کند که معمولاً یک عدد حقیقی مثبت است.
g هدف تابع است که یا برابر کمینه و یا بیشینه است.

هدف این است که برای یک نمونهx، یک راه حل بهینه پیدا کنیم که یک راه حل ممکنy است با این شرط که

m(x, y) = g \{ m(x, y') \mid y' \in f(x) \} .

برای هر مسأله بهینه سازی ترکیبی، یک مسأله تصمیم متناظر وجود دارد که می پرسد ببیند آیا یک راه حل ممکن برای مقدار خاصm_0 وجود دارد یا نه. به عنوان مثال یک گرافG وجود دارد که شامل رئوسu وv یک مسأله بهینه سازی ممکن است «یافتن یک مسیر ازG بهG که از کمترین یال ها بگذرد» باشد. این مسأله ممکن است یک جواب مثلاً ۴ داشته باشد. یک مسأله تصمیم متناظر این خواهد بود که «آیا یک مسیر ازG بهG با استفاده از ۱۰ یال یا کمتر وجود دارد؟» این مسأله با یک «بله» یا «خیر» ساده جواب داده می شود. در زمینه الگوریتم های تخمین، الگوریتم ها برای مسائل سخت برای یافتن راه حل های نزدیک بهینه طراحی می شوند. بنابراین یک نسخه معمول تصمیم، یک توصیف ناکافی از مسأله است زیرا فقط راه حل های قابل قبول را مشخص می کند. اگرچه می توانیم مسائل تصمیم مناسبی مطرح کنیم، این مسائل دیگر بیشتر به طور طبیعی، یک مسأله بهینه سازی می شوند.
مسأله بهینه سازیNP

یک مسأله بهینه سازیNP یا به طور مخففNPO یک مسأله بهینه سازی ترکیبی است با شرایط اضافی زیر. توجه داشته باشید که چند جمله ای های اشاره شده در زیر، توابعی با سایز متناسب با ورودی های تابع هستند، نه مجموعه ای مطلق از نمونه ورودی ها.

سایز هر راه حل ممکن\scriptstyle y\in f(x) به طور چند جمله ای محدود به سایز نمونهx داده شده است.
زبان های\scriptstyle \{\,x\,\mid\, x \in I \,\} و\scriptstyle \{\,(x,y)\, \mid\, y \in f(x) \,\} می توانند در زمان چند جمله ای مشخص شوند و
m در زمان چندجمله ای قابل محاسبه است.

این دلالت بر این دارد که مسأله تصمیم متناظر، یکNP است. در علوم کامپیوتر، معمولاً مسائل بهینه سازی جالب توجه، ویژگی های بالا را دارند و بنابراین مسائلNPO هستند. یک مسأله به علاوه یک مسأله بهینه سازی نوعP یاPO خوانده می شود اگر الگوریتمی وجود داشته باشد که در زمان چندجمله ای راه حل بهینه را پیدا کند. معمولاً هنگام کار کردن با دستهNPO، مسائل بهینه سازی جالبی وجود دارد که نسخه های تصمیم، NP-سخت هستند. توجه داشته باشید که روابط سختی، همواره در تناسب با ساده سازی هستند. به علت ارتباط بین الگوریتم های تخمین و مسائل محاسباتی بهینه سازی، مسائل بهینه سازی با نسخه های تصمیمNP-تکمیل لزوماًNPO-تکمیل نامیده نمی شوند. NPOPB یک دسته دیگر است؛NPO با تابع هزینه محدود به چندجمله ای. مسائلی با این شرایط، ویژگی های مطلوب زیادی دارند.

تابع




برای دیگر کاربردها، تابع (ابهام*زدایی) را ببینید.

نمودار متحرک رسم تغییرات توابع :
\sqrt[n]{x} = y با دامنه: n=\{2,3,...,31\}
x=\{0 ... +1\}
y=\{0 ... +1\}
توابع ریشهnامx را نشان می*دهند.
عدد متغیر در تصویر معادلn می*باشد.

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه*ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می*توان گفت که به قاعده*های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می*دهند، تابع گفته می*شپیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق*پذیر می*گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانندf(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی*دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه*های ریاضی براساس نظریه مجموعه*ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می*کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی*دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه*ای مشتق*پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق*پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی*دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه*ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصربه*فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده*تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می*شود.
در دیگر علوم

توابع در شاخه*های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می*خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می*شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می*شوند که کاری را بر روی ورودی*های خود انجام می*دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل*سازی ساختمان داده*ها و تأثیرات الگوریتم می*بینیم.
تعریف تابع

تابع را می*توان به عنوان قاعده*ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق*تر، اگرA وB دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔA به مجموعهٔB را می*توان قاعده*ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعهA چونa، یک و فقط یک عضو از مجموعهB را چونf(a) نسبت می*دهد. تابعf از مجموعهA به مجموعهB را باf:A\to B نشان می*دهیم.
شکل ۱. نمونه*ای از یک تناظر که تابع نیست
شکل ۲. نمونه*ای از یک تابع

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی*باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعهX به دو عضو (b وc) ازY متناظر شده*است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعهX به یک عضو خاص ازY نسبت داده شده*اند.

تابعf به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضایA بهB نیست که به طور کامل به*وسیله همه زوج*های مرتب (a,f(a)) برای هرa \in A مشخص می*شود پس تابعf را می*توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج*های مرتبی که مولفه اول آنها عضوA بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابعf درY است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می*کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابعf دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابعf:A \to B برای هرa \in A گزاره (a,b) \in f را به صورتb=f(a) نشان می*دهیم.
تعریف دقیق

یک تابع از مجموعهX به مجموعهY رابطه*ای چونf از مجموعهX به مجموعهY است که دارای شرایط زیر باشد:

دامنهf مجموعهX باشد، یعنیdom f=X.
برای هرx \in X عنصر یگانهy \in Y موجود باشد که (x,y) in f یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق بهf دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می*توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر (x,y) \in f و (x,z) \in f آنگاه الزاماًy=z.

علامت*ها

برای هرx \in X یگانه عضوy درY که به ازای آن (x,y) \in f را باf(x) نشان می*دهیم. در مورد تابع این علامت*گذاری، سایر علامت*گذاری*هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می*شوند چون (x,y) \in f یاxfy را متروک ساخته*است. از این پس اگرf یک تابع باشد، بجای (x,y) \in f یاxfy می*نویسیمy=f(x). عضوy را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسهx یا تصویرx تحتf می*گوییم و نیزx را پیش نگارهy می*گوییم.

اگرf تابعی از مجموعهX به (در یا به توی) مجموعهY باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع باf:X \to Y نشان می*دهیم.
مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابعf:X \to Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هرx \in X، مقدار تابعf درx یعنیf(x) تعیین می*شود. ضابطه تابع را می*توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه*ای از زوج*های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعهX به مجموعهY می*نویسیمf:X \to Y و سپس ضابطه آن را ذکر می*کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می*شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه*ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است باf نشان می*دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را باx نشان می*دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجارf به ورودیx نسبت می*دهد را بجایy این*بار باf(x) نشان می*دهیم و آن را مقدار تابعf درx یا تصویرx تحتf می*گوییم. همچنین از این پس به قاعده*ای که هرx را بهy=f(x) نسبت می*دهد ضابطه تابع می*گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالاf معرف خود تابع و گزارهf(x) معرف ضابطه تابع است.
دامنه و برد تابع

یک تابعf از مجموعهX به توی مجموعهY را به عنوان نوعی رابطه از مجموعهX بهY تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف*اند، به طریق اولی برای تابعf نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابعf که باdomf نموده می*شود، همان مجموعهX است. برد تابعf نیز مجموعه همه عناصری ازY است که تصویر عضوی ازX تحتf باشند. برد تابعf را باranf یاImf نشان می*دهیم. بنابه تعریف داریم:

\mbox{ran}f = \{y\in Y:\exists x(x\in X\land y = f(x))\}

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، بردf در حالت کلی لزوماً برابر مجموعهY نمی*باشد بلکه زیرمجموعه*ای از آن است. برای تمایز بین مجموعهY و برد تابعf به مجموعهY همدامنه تابعf می*گویند و آن را باcodomf نشان می*دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه*ای از همدامنه*اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید{X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابعf:XY به صورت{(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعهX است(می*توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه*های اول زوج*های مرتبf را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه{a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقیY است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی*باشد)

در حقیقت برد تابعf مجموعه همه مولفه*های دوم زوج مرتب*هایf است. مجموعه همه عناصری ازY که به ازای یکxX داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع

فرض کنیدf:XY وg:ZW دو تابع باشند. در این صورت تساویf=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذاf=g اگر و فقط اگر اعضایf وg یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابعf وg با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه*شان با هم برابر باشد و برای هرx از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x. نقاط اشتراک نمودارتابعfوتابعg در دستگاه مختصات مقدارx رانشان میدهد که به ازای آن دو تابع برابر اندفرض کنیدیکی از نقاط مورد نظر نقطه ی( A(X,Y یاشد این نقطه محل برخورد نمودار دو تابعfوgاست ومحل برخورد نمودار تابعf و نمودار تابعhar که معکوس تابعf نسبت به تابعgاست بنا بر این دو تابعF,وg زمانی در نقطه ای مانندA برابر اند که نمودار تابعfونمودارتابعhar در نقطه یA برابر باشند.
تحدید و توسیع

فرض کنیدf:XY یک تابع وA زیرمجموعه*ای ازX باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چونg از مجموعهA به مجموعهY این است که برای هرg(x)، xA را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابعg:AY با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده*است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابعf را به زیرمجموعهA ازX تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضایX بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی ازX یعنیA اثر می*کند و لذا دامنه آن ازX بهA تغییر می*یابد. چنین تابعی را که همانg است تحدید تابعf به مجموعهA می*گوییم و آن را باf|A یاf|A نشان می*دهیم. با این نمادگذاری داریمg=f|A. همچنین تابعf را توسیع تابعg به مجموعهX می*گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می*باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه*ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه*ای از آن است همواره تابع نمی*باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگرf:AY یک تابع باشد توسیع تابعf به مجموعهX تابعی چونg با دامنهX است، به طوری که تحدیدg به مجموعهA برابر تابعf باشد یعنیg|A=f.

هچنین می*توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگرf:XY یک تابع باشد، با تحدیدY به (f(X که همان برد تابعf است می*توان تابع (f:Xf(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس

اگرf:X \to Y یک تابع وA زیرمجموعه*ای ازX باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه*ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصرA تحتf می*باشند. یعنی مجموعه*ای که از تأثیر تابعf روی هر عضو مجموعهA حاصل می*شود. چنین مجموعه*ای را تصویر یا نگارهA تحت تابعf می*گوییم و آن را باf(A) نشان می*دهیم و به این صورت تعریف می*کنیم:

f(A)=\{f(x):x\in A\}

بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازایy=f(x)، x \to A یا به بیان نمادین:

y\in f(A)\iff \exists x(x\in A\land y=f(x))

به عنوان مثال اگرX=\{1,2,3,4,5\} وY=\{a,b,c,d,e\} وf:X \to Y به صورت:

f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)\}

تعریف شود و زیرمجموعهA ازX به صورتA=\{1,3,4\}در نظر گرفته شود در این صورت:

f(A)=\{f(1),f(3),f(4)\}=\{a,c,d\}

حال چونX نیز زیرمجموعه*ای از خودش است می*توانf(X) را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

f(X)=\{f(x):x\in X\}

که عبارت است از مجموعه همه عناصری ازY است که تصویر عضوی ازX تحتf باشند که بنابه تعریف همان برد تابعf یعنیran f است. به این ترتیب بردf را می*توان تصویرX تحت تابعf تعریف کرد.
اجتماع توابع-توابع چند ضابطه*ای

بسیار اتفاق می*افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه*اش با یک ضابطه مشخص نمی*شود مثلاً ممکن است دامنه تابعf که آن راX می*نامیم را بهn مجموعهX۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابعf با دامنهX را برای هرxXi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آنfi تابعی با دامنهXi است. همچنین در این صورت می*توان تابعf را برای هرx از دامنه به صورت زیر نوشت:

f(x)=\begin{cases} f_1(x) &\,x\in X_1\\ f_2(x) &\,x\in X_2\\ \vdots \\ f_n(x)&\, x\in X_n \end{cases}

در این صورتf را تابعی باn ضابطه می*گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنیدf:XY وg:ZW دو تابع باشند که برای هرx متعلق به اشتراکX وY (اشتراک دامنهf,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابعf\cup g:X\cup Z\to Y\cup W اجتماع دو تابعf,g را به صورت زیر تعریف می*کنیم:

\left(f\cup g\right)(x)=\begin{cases} f(x)&\, x\in X \\ g(x)&\, x\in Z \end{cases}

برخواننده*است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می*توان گسترش داد یعنی اگر\{A_i\}_{i\in I} خانواده*ای از مجموعه*های دو به دو جدا از هم باشد و برای هرfi,iI تابعی با دامنهAi باشد، می*توان تابعf، اجتماع توابعfi برای هرiI را با دامنه\cup_{i\in I}A_i را به صورت برای هرx از دامنه به صورت

(f(x)=fi(x اگرxAi تعریف کرد. در ادامه نمونه*هایی از توابع چند ضابطه*ای را خواهید دید.
نمودار تابع
شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابع

منظور از نمودار یک تابعf:X \to Y به تصویر کشیدن تناظری است کهf بین دو مجموعهX وY ایجاد می*کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می*شود. برای رسم نمودار پیکانی تابعf:X \to Y، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می*شود را برای نمایش مجموعهX وY انتخاب می*کنیم و عناصر هر یک را به*وسیله نقاطی در آنها مشخص می*کنیم. سپس بین هر عضوx \in X و (f(x یک پیکان ازx به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می*کنیم. به عنوان مثال اگر{X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e وf:X \to Y به صورتf=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e \} تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.
شکل ۴. نمونه*ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی

این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگرf تابعی با دامنه اعداد حقیقیR باشد آن را تابع حقیقی می*گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می*کنیم. روش کار به این صورت است که برای هرx \in R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه*ای در صفحه دکارتی است را رسم می*کنیم و به این ترتیب نمودار تابعf حاصل می*شود. رسم نمودار تابع، باعث می*شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می*توان گفت این تابع در چه بازه*هایی صعودی و در چه بازه*هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.
شکل ۵

همچنین از روی نمودار یک رابطه می*توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده*است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبتx دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محورxها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
فضای توابع

اگرX وY دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع ازX بهY را باYX نشان می*دهیم و بنابه تعریف داریم:

Y^X=\{f|f:X\to Y\}

عدد اصلی این مجموعه را نیز می*توان به صورت زیر بدست آورد:

\mbox{card}(Y^X)=(\mbox{card}Y)^{\mbox{card}X}

از رابطه فوق نتیجه می*شود اگرX مجوعه*ایn-عضوی وY مجموعه*ایm-عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعهX به مجموعهY برابر است باmn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابعf:X \to Y را تعریف کنیم هر عضو ازn عضو مجموعهX چونx \in X، را می*توان بهm طریق به یک عضو از مجموعهY نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی بهmn طریق ممکن خواهد بود.
توابع دو (یا چند) متغیره

عباراتی چونf(x,y)=\sin (xy) یاf(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می*پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می*دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می*گوییم. چنین توابعی رابطه*ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می*توان تابعی به صورتf:R\times R \to R توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می*پذیرد و آن را به عضوی ازR نسبت می*دهد که در این صورت اعضای تابعf را می*توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.
انواع تابع
توابع چندجمله*ای

توابع چند جمله ای توابعی هستند که فقط دارایx (مجهول) می باشد و دامنه ی آن مجموعه ی اعداد حقیقی می باشد.
توابع مثلثاتی
نوشتار اصلی: تابع*های مثلثاتی

توابع مثلثاتی، تابع*هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم*الزاویه مرتبط می*کنند. توابع سینوس و کسینوس از جمله*ی مهم*ترین این توابع به شمار می*روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می*توانند بسیاری از پدیده*های تکرارشونده را توصیف کنند.
توابع متناوب

تابعƒ: A B متناوب یا پریودیک نامیده می شود، اگر عدد ثابتی مانندT موجود باشد که برای هرx داشته باشیمf(x+T)=f(x) .بهT دوره تناوب یا پریود گفته می شود.
تابع همانی ( y=x )


اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو در دامنه دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، آن تابع را تابع همانی می*نامند.
تابع قدر مطلق

تابعی که هر مقدار در دامنه را به قدر مطلق آن در برد نظیر می*کند، تابع قدر مطلق نامیده می*شود. تابع قدر مطلق را با|f(x)=|x نمایش می*دهند. که خواص مهمی دارند
تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودیy ثابت است.)

تابع ثابت تابعی است که برد آن تنها شامل یک عضو است. شکل تابع خطی موازی محورX ها است
تابع پوشا


تابعƒ: A B پوشا نامیده می شود اگر برای هر عضوy متعلق بهB ،حداقل یک عضوx ازA موجود باشد که داشته باشیمy=f(x) .
منابع

Lawrence S. Husch (۲۰۰۱). Visual Calculus. University of Tennessee.
João Pedro da Ponte (۱۹۹۲). The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics Educator ۳(۲), ۳-۸. available online in Microsoft Word and HTML formats.
سونات